특정 값으로 수렴하는 무한 급수(Infinite Series)는 많지 않다. 기하 급수(geometric series)는 그 중 하나다. 여기서 $|r| <1$ 을 만족하는 조건에서 다음이 성립한다.
\[1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + \cdots = \frac{1}{1-r}\]
망원급수(telescoping series)란 옛날 접이식 망원경처럼 부분적 항들의 합이 소거 후에 결과적으로 고정된 값만이 남는 수열을 일컫는다. 대표적인 망원급수로 다음을 들 수 있다.
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}\] 망원급수를 전개하여 소거하게 되면 결국 1이 된다.
\[\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack \\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack = 1. \end{align}\]
상기 내용을 바탕으로 무한급수를 사용해서 \(\pi\) 를 계산해보자.
\[\sum_{n=1}^\infty x^n = 1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + \cdots = \frac{1}{1-x}\]
여기서, 다음 성질을 이용하게 되면, 다음과 같이 무한 급수를 얻을 수 있다.
\[\frac{1}{1-x} = \frac{1}{1-(-x)} = 1 -x + x^2 -x^3 + x^4 + \cdots\] \(x\)를 \(x^2\)으로 치환하게 되면 다음이 성립한다.
\[\frac{1}{1+x^2} = 1 -x^2 + x^4 -x^6 + x^8 + \cdots\] 이제 양쪽을 적분하여 보자.
\[\int \frac{1}{1+x^2} \mathrm dx = \int 1 -x^2 + x^4 -x^6 + x^8 + \cdots \mathrm dx\] 여기서 \(\int \frac{1}{1+x^2} \mathrm dx = \tan^{-1} (x)\) 이기 때문에 다음이 성립한다.
\[\tan^{-1} (x) = 1 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 -\frac{1}{7}x^7 \cdots \]
\(x = 1\)로 놓게 되면 다음과 같이 \(\pi\)를 무한급수로 표현할 수 있게 된다.
\[\tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} -\frac{1}{7} \cdots \]
데이터 과학자 이광춘 저작
kwangchun.lee.7@gmail.com