행렬
from sympy import *
init_printing(use_unicode=True)심파이에서 행렬을 만드는데 Matrix 객체를 사용한다. 행렬을 구성하는 행벡터 리스트를 조합해서 행렬을 생성한다. 예를 들어, 다음과 같은 행렬을 생성하려면,
\(\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\3 & 4\\0 & 2\end{array}\right]\)
다음과 같이 작성한다.
Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])\[\left[\begin{matrix}1 & -1\\3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right]\]
칼럼 벡터를 쉽게 생성하도록, 리스트 요소가 칼럼벡터로 간주된다.
Matrix([1,2,3])\[\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]\]
심파이 혹은 파이썬 다른 객체와 마찬가지 방식으로 행렬을 조작한다.
M = Matrix([[1, 2, 3], [3, 2, 1]])
N = Matrix([0, 1, 1])
M*N\[\left[\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right]\]
심파이 행렬에 대해 주의할 한가지 점은 심파이 다른 객체와 달리 변경가능하다는 것이다. 다음에 살펴보게 되듯이 행렬을 그때 그때 변경할 수 있다는 것을 의미한다. 이것이 갖는 단점은 Matrix를 심파이 표현식 내부 혹은 딕셔너리 키와 같이 변경가능하지 않는 것이 필요한 곳에는 사용할 수 없다. Matrix에 대한 변경불가한 것이 필요한 경우 ImmutableMatrix를 사용한다.
기본연산
형태(Shape)
Matrix에 대한 기본 연산자가 다음에 있다. shape를 사용해서 행렬 형태를 얻는다.
M = Matrix([[1, 2, 3], [-2, 0, 4]])
M\[\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\-2 & 0 & 4\end{matrix}\right]\]
M.shape\[\left ( 2, \quad 3\right )\]
행과 열에 접근하기
행렬에서 행 혹은 열을 뽑아내려면, row 혹은 col 메쏘드를 사용한다. 예를 들어, M.row(0) 명령어는 첫번째 행을 뽑아낸다. M.col[-1] 명령어는 마지막 칼럼을 뽑아낸다.
M.row(0)\[\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\end{matrix}\right]\]
M.col(-1)\[\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]\]
행과 열을 삭제하고 삽입하기
행과 열을 삭제하는데 row_del, col_del 명령어를 사용한다. 이 연산자는 행렬을 그자리에서 바로 변경시킨다.
M.col_del(0)
M\[\left[\begin{matrix}2 & 3\\0 & 4\end{matrix}\right]\]
M.row_del(1)
M\[\left[\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right]\]
행과 열을 삽입하는데, row_insert 혹은 col_insert 메쏘드를 사용한다. 이 연산은 그자리에서 바로 작동하지 않는다.
M\[\left[\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right]\]
M = M.row_insert(1, Matrix([[0,4]]))
M\[\left[\begin{matrix}2 & 3\\0 & 4\end{matrix}\right]\]
M = M.col_insert(0, Matrix([1,-2]))
M\[\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\-2 & 0 & 4\end{matrix}\right]\]
명시적으로 언급하지 않는 경우, 다음에 언급되는 메쏘드는 그자리에서 바로 동작하지는 않는다. 일반적으로, 그자리에서 작동하지 않는 메쏘드는 신규 Matrix를 반환하고, 작동하는 메쏘드는 None을 반환한다.
기본 메쏘드
앞에서 언급했듯이, 더하기와 곱하기 같은 단순한 연산은 +, *, ** 기호를 사용해서 수행된다. 역행렬을 구하는 경우, -1 거듭제곱만 하면 된다.
M = Matrix([[1, 3], [-2, 3]])
N = Matrix([[0, 3], [0, 7]])
M + N\[\left[\begin{matrix}1 & 6\\-2 & 10\end{matrix}\right]\]
M * N\[\left[\begin{matrix}0 & 24\\0 & 15\end{matrix}\right]\]
3*M\[\left[\begin{matrix}3 & 9\\-6 & 9\end{matrix}\right]\]
M**2\[\left[\begin{matrix}-5 & 12\\-8 & 3\end{matrix}\right]\]
M**-1\[\left[\begin{matrix}\frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\\frac{2}{9} & \frac{1}{9}\end{matrix}\right]\]
N**-1---------------------------------------------------------------------------
ValueError Traceback (most recent call last)
ValueError: Matrix det == 0; not invertible.전치 행렬을 구하려면, T를 사용한다.
M = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
M\[\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{matrix}\right]\]
M.T\[\left[\begin{matrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{matrix}\right]\]
행렬 생성자
일반적인 행렬을 생성하는 경우 생성자가 몇개 존재한다. 단위행렬을 생성하는 경우, eye를 사용한다. eye(n) 명령어는 \(n \times n\) 행렬을 생성시킨다.
eye(3)\[\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\]
eye(4)\[\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\]
모든 요소가 0이 되는 행렬을 생성하려면, zeros를 사용한다. zeros(n,m) 명령어는 모두 0인 \(n \times m\) 행렬을 생성시킨다.
zeros(2,3)\[\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\]
마찬가지로, ones 명령어는 모두 1인 행렬을 생성시킨다.
ones(3,2)\[\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 1\\1 & 1\end{matrix}\right]\]
대각행렬을 생성하려면, diag 명령어를 사용한다. diag 명령어에 들어가는 인자는 숫자 혹은 행렬이 될 수 있다. 숫자는 \(1 \times 1\) 행렬로 간주된다. 행렬이 대각선으로 쌓이게 된다. 나머지 요소는 0으로 채워진다.
diag(1,2,3)\[\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right]\]
diag(-1, ones(2,2), Matrix([5,7,5]))\[\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 5\\0 & 0 & 0 & 7\\0 & 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]\]
고급 방법
행렬식
행렬에 대한 행렬식(determinant)를 계산하려면, det를 사용한다.
M = Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])
M\[\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\2 & -1 & 3\\4 & 3 & 2\end{matrix}\right]\]
M.det()\[-1\]
기약행 사다리꼴(reduced row echelon form, RREF)
행렬을 기약행 사다리꼴로 표현하려면, rref 메쏘드를 사용한다. rref는 두 요소를 갖는 튜플을 반환한다. 첫번째는 기약행 사다리꼴이고, 두번째는 추측 칼럼 인덱스 리스트가 된다.
M = Matrix([[1, 0, 1, 3], [2, 3, 4, 7], [-1, -3, -3, -4]])
M\[\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 3\\2 & 3 & 4 & 7\\-1 & -3 & -3 & -4\end{matrix}\right]\]
M.rref()\[\left ( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 3\\0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left [ 0, \quad 1\right ]\right )\]
rref로 반환되는 튜플 첫번째 요소는 자료형이Matrix이며, 두번째는 자료형이list리스트다.
영공간(null space)
행렬의 영공간을 찾으려면, columnspace 메쏘드를 사용한다. columnspace 메쏘드는 행렬 열공간을 생성하는 열벡터 리스트를 반환한다.
M = Matrix([[1, 1, 2], [2 ,1 , 3], [3 , 1, 4]])
M\[\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\2 & 1 & 3\\3 & 1 & 4\end{matrix}\right]\]
M.columnspace()\[\left [ \left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\]
고유값, 고유벡터, 대각화
행렬의 고유값을 찾아내려면, eigenvals 메쏘드를 사용한다. eigenvals 메쏘드는 eigenvalue:algebraic multiplicity 쌍에 대한 딕셔너리를 반환한다. (roots 출력결과와 유사)
M = Matrix([[3, -2, 4, -2], [5, 3, -3, -2], [5, -2, 2, -2], [5, -2, -3, 3]])
M\[\left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right]\]
M.eigenvals()\[\left \{ -2 : 1, \quad 3 : 1, \quad 5 : 2\right \}\]
행렬 M이 -2, 3, 5 고유값을 갖고 있다는 것과 더불어, 고유값 -2 와 3은 대수적 1 중복을 갖고, 고유값 5는 대수적 중복 2를 갖는다.
행렬에 대한 고유벡터를 구하려면, eigenvects 메쏘드를 사용한다. eigenvects 메쏘드는 (eigenvalue:algebraic multiplicity, [eigenvectors]) 형태 튜플 리스트를 반환한다.
M.eigenvects()\[\left [ \left ( -2, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 3, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 5, \quad 2, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\\0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0\\-1\\0\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]\]
예를 들어, 고유값 5는 기하적 중복 2를 갖는데, 고유벡터가 2이기 때문임을 나타내고 있다. 대수적으로 기하적으로 중복수는 모든 고유값에 대해 동일하기 때문에, M 행렬을 대각화 가능하다.
행렬을 대각화하기 위해서, diagonalize 메쏘드를 사용한다. diagonalize 메쏘드는 \((P,D)\) 튜플을 반환한다. \(D\)는 대각이고, \(M = PDP^-1\)이다.
P, D = M.diagonalize()
P\[\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right]\]
D\[\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0\\0 & 3 & 0 & 0\\0 & 0 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]\]
P*D*P**-1\[\left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right]\]
P*D*P**-1 == MTrueeigenvects도 고유값을 포함하고 있기 때문에, 고유벡터도 필요한 경우 eigenvals 대신에 사용한다. 하지만, 고유벡터를 계산해내는 것이 연산량이 많기 때문에, 고유값만 필요한 경우 eigenvals가 선호된다.
원하는 것이 고유다항식인 경우, charpoly 메쏘드를 사용한다. eigenvals보다 더 효율적인데, 이유는 기호근(symbolic root)을 계산하는데 연산이 많이 소요되기 때문이다.
lamda = symbols('lamda')
p = M.charpoly(lamda)
factor(p)\[\left(\lambda - 5\right)^{2} \left(\lambda - 3\right) \left(\lambda + 2\right)\]