미적분

미분, 적분, 극한, 급수 전개 같은 기본적인 미분적분을 심파이에서 계산하는 방법을 다룬다. 미적분 수학에 친숙하지 않다면, 그냥 넘어가도 좋다.

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
init_printing(use_unicode=True)

미분

미분을 할 때는 diff 함수를 사용한다.

diff(cos(x), x)

\[- \sin{\left (x \right )}\]

diff(exp(x**2), x)

\[2 x e^{x^{2}}\]

diff 함수는 한번에 미분을 여러번 수행할 수 있다. 미분을 여러번 수행하려면, 변수를 미분취하고자 하는 만큼 전달하거나, 변수 뒤에 숫자를 넘겨 전달한다. 예를 들어, 다음 두가지 모두 \(x^4\)에 대해 3번 미분한다.

diff(x**4, x, x, x)

\[24 x\]

diff(x**4, x, 3)

\[24 x\]

한번에 다수 변수에 대해 미분을 취할 수도 있다. 단일 변수 미분과 동일한 구분을 사용해서 각 미분을 순서대로 전달한다. 예를 들어, 다음 각각은 \(\frac{\partial^7}{\partial x\partial y^2\partial z^4} e^{x y z}\) 미분을 계산한다.

expr = exp(x*y*z)
diff(expr, x,y,y,z,z,z,z)

\[x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

diff(expr, x, y, 2, z, 4)

\[x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

diff(expr, x, y, y, z, 4)

\[x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

diff를 메쏘드로 호출할 수도 있다. diff를 호출하는 두가지 방식은 정확히 동일하고, 편리함을 목적으로 제공된다.

expr.diff(x, y, y, z, 4)

\[x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

값을 매기지 않은 미분을 생성하려면, Derivatives 클래스를 사용한다. diff와 동일한 구문을 갖는다.

deriv = Derivative(expr, x, y, y, z, 4)
deriv

\[\frac{\partial^{7}}{\partial x\partial y^{2}\partial z^{4}} e^{x y z}\]

아직 값을 매기지 않은 미분에 값을 매기려면, doit 메쏘드를 사용한다.

deriv.doit()

\[x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

이런 값을 매기지 않은 객체는 미분에 대한 값을 매기는 것을 지연시키거나 출판 목적으로 유용하다. 심파이가 표현식 미분을 어떻게 계산하는지 모를 때도 사용될 수 있다.(예를 들어, 정의되지 않는 함수를 포함하고 있는 경우, Solving Differential Equations에 기술되어 있다)

적분

적분을 계산하는데 integrate 함수를 사용한다. 두가지 유형의 적분이 존재한다: 부정적분과 정적분. 부정적분, 즉 역도함수, 원시함수를 계산하려면, 표현식 다음에 변수를 전달만하면 된다.

integrate(cos(x), x)

\[\sin{\left (x \right )}\]

심파이가 적분 상수를 포함하지 않음에 주목한다. 포함시키려면, 본인 스스로 포함을 시키거나 미분방정식으로 문제를 다시 바꾸어 표현해서 dsolve 함수로 푸는데, 이 경우에 상수가 추가되어 있다. Solving Differential Equations을 참고한다.

빠른 도움말 심파이에서 \(\infty\) 는 oo(영문 소문자 o 두번) 로 표기된다. oo가 \(\infty\) 처럼 보이고, 타이핑하기 쉽기 때문이다.

정적분을 계산하려면, 인자를 (integration_variable, lower_limit, upper_limit) 순서로 넘긴다. 예를 들어, 다음을 계산하는데,

\(\int_0^\infty e^{-x}\,dx\)

다음과 같이 작성한다.

integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

\[1\]

부정적분과 마찬가지로, 극한 튜플을 다수 넘겨서 다중적분을 계산할 수도 있다. 예를 들어,

$ {-}^{}{-}^{} e^{- x^{2} - y^{2}}, dx, dy,$

다음과 같이 계산한다.

integrate(exp(-x**2 - y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))

\[\pi\]

integrate 함수가 적분을 계산할 수 없는 경우, 값 매김할 수 없는 integral 객체를 반환한다.

expr = integrate(x**x, x)
print(expr)

Integral(x**x, x)

expr

\[\int x^{x}\, dx\]

Derivative 와 마찬가지로, Integral을 사용해서 값 매김할 수 없는 적분을 생성할 수 있다. 나중에 해당 적분에 값 매김을 하려면, doit을 호출한다.

expr = Integral(log(x)**2, x)
expr

\[\int \log^{2}{\left (x \right )}\, dx\]

expr.doit()

\[x \log^{2}{\left (x \right )} - 2 x \log{\left (x \right )} + 2 x\]

integrate 함수는 정적분과 부정적분을 항상 계산하는데 이바지하는 강력한 알고리즘을 사용한다. 휴리스틱 패턴 매칭 알고리즘, Risch algorithm 부분 구현, 특수 함수, 특히 정적분에 대한 적분을 계산하는데 유용한 Meijer G-functions를 이용한 알고리즘이 포함된다. integrate 함수의 강력함을 보여주는 사례가 다음에 나와 있다.

integ = Integral((x**4 + x**2*exp(x) - x**2 - 2*x*exp(x) - 2*x - 
                  exp(x))*exp(x)/((x - 1)**2*(x + 1)**2*(exp(x) + 1)), x)
integ

\[\int \frac{\left(x^{4} + x^{2} e^{x} - x^{2} - 2 x e^{x} - 2 x - e^{x}\right) e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2} \left(e^{x} + 1\right)}\, dx\]

integ.doit()

\[\log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \frac{e^{x}}{x^{2} - 1}\]

integ = Integral(sin(x**2), x)
integ

\[\int \sin{\left (x^{2} \right )}\, dx\]

integ.doit()

\[\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{8 \Gamma{\left(\frac{7}{4} \right)}} \Gamma{\left(\frac{3}{4} \right)}\]

integ = Integral(x**y*exp(-x), (x, 0, oo))
integ

\[\int_{0}^{\infty} x^{y} e^{- x}\, dx\]

integ.doit()

\[\begin{cases} \Gamma{\left(y + 1 \right)} & \text{for}\: - \Re{y} < 1 \\\int_{0}^{\infty} x^{y} e^{- x}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}\]

마지막 예제는 Piecewise 표현식을 반환한다. 왜냐하면, \(\Re(y) > 1\)이 아닌 경우 적분이 수렴하지 않기 때문이다.

극한

심파이는 limit 함수로 기호극한을 계산할 수 있다.

\(\lim_{x\to x_0} f(x)\)

계산하는 구문은 limit(f(x), x, x0)와 같이 적는다.

limit(sin(x)/x, x, 0)

\[1\]

값매김 점이 특이점인 경우, subs 대신에 limit을 사용한다. 심파이가 \(\infty\)를 표현하는 객체가 있지만, 값매김에 무한을 사용하게 되면 신뢰성에 문제가 생길 수 있다. 이유는 증가율 같은 것을 추적하지 못하기 때문이다. 또한, \(\infty - \infty\) 와 \(\frac{\infty}{\infty}\) 경우 \(\mathrm{nan}\) (not-a-number, 숫자 아님)을 반환한다. 예를 들어,

expr = x**2 / exp(x)
expr.subs(x, oo)

\[\mathrm{NaN}\]

limit(expr, x, oo)

\[0\]

Derivative와 Integral과 마찬가지로, limit는 값매김하지 않는 대응되는 클래스가 있는데, Limit이다. 값매김을 수행하려면, doit을 사용한다.

expr = Limit((cos(x) - 1)/x, x, 0)
expr

\[\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)\right)\]

expr.doit()

\[0\]

한쪽에서 접근하는 극한에 값을 매기려면, + 혹은 - 부호를 넘겨준다. 예를 들어,

\(\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x},\)

다음과 같이 작성해서 계산한다.

limit(1/x, x, 0, '+')

\[\infty\]

반면에,

limit(1/x, x, 0, '-')

\[-\infty\]

수열 전개

심파이로 특정 점 주변에 함수에 대해 점근적 수열 전개를 해서 계산할 수 있다. \(x = x_0\) 점 주변에 \(x^n\)차항으로 \(f(x)\) 전개해서 계산하려면, f(x).series(x, x0, n)을 사용한다. x0와 n은 생략될 수 있는데, 생략한 경우, 기본디폴트값으로 x0=0, n=6 값이 사용된다.

expr = exp(sin(x))
expr.series(x, 0, 4)

\[1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \mathcal{O}\left(x^{4}\right)\]

마지막에 \(O\left (x^4\right )\) 항은 \(x=0\) 에서 란다우(Landau) 항을 나타낸다. (컴퓨터 과학의 빅오(Big O) 표기법과 혼동하지 말자. 일반적으로 \(x = \infty\) 로 갈 때 란다우 항을 표현한다.) \(x^4\) 보다 크거나 같은 거듭제곱항을 갖는 모든 \(x\) 항이 빠지게 됨을 의미한다. 거듭제곱항은 series 외부에서 생성되고 조작되는데, 자동으로 고차 거듭제곱항을 흡수하는 성질이 있다.

x + x**3 + x**6 + O(x**4)

\[x + x^{3} + \mathcal{O}\left(x^{4}\right)\]

x*O(1)

\[\mathcal{O}\left(x\right)\]

거듭제곱 항을 원치 않는 경우, remove0 메쏘드를 사용한다.

expr.series(x, 0, 4).removeO()

\[\frac{x^{2}}{2} + x + 1\]

o 표기법은 0이 아닌 임의 극한점에도 사용가능하다.

exp(x - 6).series(x, x0=6)

\[-5 + \frac{1}{2} \left(x - 6\right)^{2} + \frac{1}{6} \left(x - 6\right)^{3} + \frac{1}{24} \left(x - 6\right)^{4} + \frac{1}{120} \left(x - 6\right)^{5} + x + \mathcal{O}\left(\left(x - 6\right)^{6}; x\rightarrow6\right)\]

유한 차분

지금까지 해석적 미분과 원시함수형태 표현식을 살펴봤다. 닫힌 형식 표기법이 존재하지 않는 곡선, 혹은 함수값을 알지 못하는 곡선에 대한 미분을 추정하는 표현식을 다루고자 하면 어떨까? 한가지 접근법은 유한차분을 사용하는 것이다.

Derivative 인스턴스에 as_finite_diff 방법을 사용해서 임의 거듭제곱항에 근사값을 생성한다.

f = Function('f')
dfdx = f(x).diff(x)
as_finite_diff(dfdx)

\[- f{\left (x - \frac{1}{2} \right )} + f{\left (x + \frac{1}{2} \right )}\]

1차 미분으로 x 주변에서 근사했는데, 1 간격크기를 사용해서 동일거리에 값 매김되는 최소점을 사용했다. 임의 간격크기를 사용할 수도 있다(기호 표현식을 포함하는 것도 가능).

f = Function('f')
d2fdx2 = f(x).diff(x, 2)
h = Symbol('h')
as_finite_diff(d2fdx2, [-3*h, -h, 2*h])

\[\frac{1}{5 h^{2}} f{\left (- 3 h \right )} - \frac{1}{3 h^{2}} f{\left (- h \right )} + \frac{2}{15 h^{2}} f{\left (2 h \right )}\]

가중치를 값매김하는데만 관심이 있다면, 수작업으로 다음과 같이 계산할 수도 있다:

finite_diff_weights(2,[-3,-1,2],0)[-1][-1]

\[\left [ \frac{1}{5}, \quad - \frac{1}{3}, \quad \frac{2}{15}\right ]\]

finite_diff_weights에서 반환되는 마지막 요소만 필요하다는데 주목한다. 이런 이유는 finite_diff_weights가 차수가 낮은 미분과 더 적은 점을 사용해서 가중치를 생성하기 때문이다. (좀더 자세한 정보는 finite_diff_weights 문서를 참고한다.)

finite_diff_weights를 직접적으로 사용하는 것이 복잡해 보이고, Derivative 인스턴스에서 동작하는 as_finite_diff 함수가 유연하지 못한 경우, 거듭제곱항과 x_list, y_list, x0를 인자로 받는 apply_finite_diff를 사용한다.

x_list = [-3, 1, 2]
y_list = symbols('a b c')
apply_finite_diff(1, x_list, y_list, 0)

\[- \frac{3 a}{20} - \frac{b}{4} + \frac{2 c}{5}\]