간략화

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from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
init_printing(use_unicode=True)

간략화하기

이제 좀더 흥미로운 수학주제로 들어가보자. 기호조작시스템에 있어 가장 유용한 기능중 하나는 수학 표현식을 간략화할 수 있는 능력이다. 심파이는 다양한 유형의 간략화 작업을 수행하는 수십가지 함수를 제공한다. 이런 모든 함수를 simplify()라는 일반적인 함수를 통해 지능적인 방식으로 표현식을 가장 단순한 형태로 만들게 된다. 다음에 몇가지 예제가 나와 있다.

simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)

\[1\]

simplify((x**3 + x**2 - x - 1) /(x**2 + 2*x + 1))

\[x - 1\]

simplify(gamma(x)/gamma(x-2))

\[\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\]

gamma(x)는 \(\Gamma (x)\) 감마함수다. simplify() 함수는 다양한 표현식 클래스를 처리할 수 있는 기능을 갖추고 있다.

하지만, simplify() 함수도 함정이 있다. 심파이에 주요한 간략화 연산에만 적용되고, 휴리스틱을 사용해서 가장 간략한 결과를 판단한다. 하지만, ‘’가장 간략한’‘이라는 말은 잘-정의된 용어는 아니다. 예를 들어 \(x^2 + 2x + 1\)을’‘단순화’’하면 \((x + 1)^2\) 결과가 나와야만 된다.

simplify(x**2 + 2*x + 1)

\[x^{2} + 2 x + 1\]

원하는 결과가 도출되지 않는다. 이런 유형의 간략화를 수행하는 함수가 있다. factor()로 불리고 다음에 논의될 예정이다.

simplify() 함수의 또다른 함정은 불필요하게 느릴 수 있다는 점인데, 이유는 최선의 간략화를 선택하기 전에 많은 유형의 간략화를 시도해보기 때문이다. 이미 어떤 유형의 간략화가 좋은지 알고 있다면, 간략화를 바로 적용하는 특정한 간략화 함수를 바로 적용하는 것이 더 낫다.

simplify() 함수 대신에 특정 간략화 함수를 적용하는 것은 특정한 함수가 출력형태에 관해 일정부분 보장을 해준다는 장점도 있다. 아래 나온 각 함수별로 이점은 토의될 것이다. 예를 들어, factor() 함수를 유리수 계수를 갖는 다항식을 호출시키면, 다항식을 더이상 약분할 수 없는 기약 인수로 인수분해되는 것이 보장된다. simplify()는 그런 보장이 없다. 완전히 휴리스틱이라, 앞에서 살펴봤듯이, 심파이가 수행할 수 있는 가능 간략화를 놓치기도 한다.

simplify() 함수는 인터랙티브하게 사용될 때 가장 좋은데, 특히 표현식을 더 간략한 형태로 줄일 때 그렇다. simplify() 함수가 반환하는 것을 보고 나서, 좀더 정교한 결과를 도출하는데 특정한 함수를 골라 적용시킨다. 표현식이 어떤 형태를 갖추어야 되는지 아무런 생각이 없는 경우에 유용한데 표현식을 간략화는데 온갖 함수가 다 필요하기 때문이다.

다항식 / 유리함수 간략화

전개

expand() 함수는 심파이에서 가장 일반적으로 사용되는 간략화 함수중 하나다. 전개함수는 다양한 응용사례가 있지만, 지금은 다항식을 전개하는데만 고려해본다. 예를 들어:

expand((x + 1)**2)

\[x^{2} + 2 x + 1\]

expand((x + 2)*(x - 3))

\[x^{2} - x - 6\]

다항식이 주어지면, expand() 함수는 다항식을 단항식 합으로 구성된 정규형으로 표현한다.

expand() 함수는 간략화 함수처럼 들리지 않는다. 결국, 함수명 그자체에 드러나듯이, 전개함수는 표현식을 더 적게가 아니라 더 크게 만든다. 일반적인 경우 그렇지만, expand() 함수를 호출하게면 표현식이 더 줄어드는 경우가 있는데 소거가 되기 때문이다.

expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)

\[-2\]

인수

factor() 함수는 다항식을 인자로 받아 유리수에 대해 더이상 약분할 수 없는 기약인수로 인수분해한다. 예를 들어:

factor(x**3 - x**2 + x - 1)

\[\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)\]

factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)

\[z \left(x + 2 y\right)^{2}\]

다항식을 보면, factor()는 expand()와 정반대다. factor()는 유리수에 대해 완전 다변량 인수분해 알고리즘을 사용한다. factor()로 반환되는 각 인수가 나누어질 수 없도록 보장된다는 의미가 된다.

인수 그 자체에 관심을 두는 경우, factor_list 함수는 좀더 구조적인 출력결과를 반환시킨다.

factor_list(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)

\[\left ( 1, \quad \left [ \left ( z, \quad 1\right ), \quad \left ( x + 2 y, \quad 2\right )\right ]\right )\]

엄밀한 의미에서 factor와 expand 함수에 입력이 굳이 다항식이 될 필요는 없음에 주목한다. factor와 expand 함수는 어떤 유형의 표현식도 지능적으로 인수분해 혹은 전개할 수 있다. (하지만, 입력이 유리수에 대한 다항식이 아닌 경우, 인수를 더이상 줄일 수 없게 되지 않을 수도 있음에 주목한다.)

expand((cos(x) + sin(x))**2)

\[\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\]

factor(cos(x)**2 + 2*cos(x)*sin(x) + sin(x)**2)

\[\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}\]

수집 함수

collect() 함수는 표현식에 거듭제곱 항을 모은다. 예를 들어,

expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
expr

\[x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x - 3\]

collect_expr = collect(expr, x)
collect_expr

\[x^{3} + x^{2} \left(- z + 2\right) + x \left(y + 1\right) - 3\]

collect() 함수는 .coeff() 메쏘드와 연계되면 특히 유용하게 사용된다. expr.coeff(x, n) 함수는 expr 표현식에 x**n 거듭제곱 계수를 반환한다.

collect_expr.coeff(x, 2)

\[- z + 2\]

소거 함수

cancel() 함수는 유리함수를 인자로 받아 \(frac{p}{q}\) 정규형으로 표현한다. \(p\)와 \(q\)는 공약수 없이 전개된 형태의 다항식으로, \(p\)와 \(q\)의 계수는 분모를 갖지 않는다.(즉, 정수임).

cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))

\[\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\]

expr = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)
expr

\[\frac{\frac{3 x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}\]

cancel(expr)

\[\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} - 8 x}\]

expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 -2*y*z + z**2)/(x**2 -1)
expr

\[\frac{1}{x^{2} - 1} \left(x y^{2} - 2 x y z + x z^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2}\right)\]

cancel(expr)

\[\frac{1}{x - 1} \left(y^{2} - 2 y z + z^{2}\right)\]

factor() 함수는 표현식 분모와 분자를 완전히 인수분해할 수 있기 때문에, factor() 함수로 같은 작업에 활용될 수 있음에 주목한다.

factor(expr)

\[\frac{\left(y - z\right)^{2}}{x - 1}\]

하지만, 표현식이 소거된 형태로만 확실히 하는데만 관심이 있다면, cancel() 함수가 factor() 함수보다 더 효율적이다.

쪼개기

apart() 함수는 유리함수에 대해 부분분수분해(Partial fraction decomposition)를 수행한다.

expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
expr

\[\frac{4 x^{3} + 21 x^{2} + 10 x + 12}{x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}\]

apart(expr)

\[\frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x}\]

삼각함수 간략화

acos(x)

\[\operatorname{acos}{\left (x \right )}\]

cos(acos(x))

\[x\]

asin(1)

\[\frac{\pi}{2}\]

trigsimp

삼각함수를 사용하는 표현식을 간략화하려면, trigsimp() 함수를 사용한다.

trigsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2)

\[1\]

trigsimp(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4)

\[\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\]

trigsimp(sin(x)*tan(x)/sec(x))

\[\sin^{2}{\left (x \right )}\]

trigsimp() 함수는 쌍곡선 삼각함수에도 동작한다.

trigsimp(cosh(x)**2 + sinh(x)**2)

\[\cosh{\left (2 x \right )}\]

trigsimp(sinh(x)/tanh(x))

\[\cosh{\left (x \right )}\]

simplify() 함수와 마찬가지로, trigsimp() 함수는 다양한 삼각함수를 입력표현식으로 받고 나서, 휴리스틱을 사용해서 ‘’최선’’을 찾아 뽑아낸다.

expand_trig

삼각함수를 전개, 즉 합과 배각(double angle)를 적용하려면, expand_trig() 함수를 사용한다.

expand_trig(sin(x+y))

\[\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} + \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}\]

expand_trig(tan(2*x))

\[\frac{2 \tan{\left (x \right )}}{- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1}\]

expand_trig() 함수는 삼각함수 표현식을 더 크게 확장시키고, trigsimp() 함수는 삼각함수 표현식을 더 작게 축소시키기 때문에, trigsimp() 함수를 사용해서 역으로 적용시킬 수 있다.

trigsimp(sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x))

\[\sin{\left (x + y \right )}\]

거듭제곱

거듭제곱 간략화 함수를 소개하기 전에, 거듭제곱이 갖는 항등식에 대한 수학적 논의가 필요한 시점이다. 거듭제곱 지수가 만족시켜야 되는 세가지 유형의 항등식이 있다.

1. \(x^a x^b = x^{a + b}\)
2. \(x^a y^a = (xy)^a\)
3. \((x^a)^b = x^{ab}\)

항등식 1은 항상 참으로 성립된다.

항등식 2는 항상 참이 아니다. 예를 들어, \(x = y = -1\) 이고 \(a = \frac{1}{2}\) 이면, \(x^ay^a = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i\cdot i = -1\)이 되는 반면에, \((xy)^a = \sqrt{-1\cdot-1} = \sqrt{1} = 1\)이 된다. 하지만, 적어도 \(x\)와 \(y\)가 음수가 아니고, \(a\)가 실수이면 항등식 2는 참으로 성립된다. (다른 조건아래에서 참일 수도 있다) 항등식 2가 성립하지 않는 일반적인 경우가 \(\sqrt{x}\sqrt{y} \neq \sqrt{xy}\)이다.

항등식 2은 항상 참이 아니다. 예를 들어, \(x = -1\), \(a = 2\) 이고, \(b = \frac{1}{2}\) 이면, \((x^a)^b = {\left ((-1)^2\right )}^{1/2} = \sqrt{1} = 1\) 이 되고, \(x^{ab} = (-1)^{2\cdot1/2} = (-1)^1 = -1\) 이 되어 성립하지 않는다. 하지만, 항등식 3은 \(b\)가 정수이면 참으로 성립된다. (물론, 다른 경우에도 성립된다.) 항등식 3이 성립하지 않는 두가지 일반적인 경우는 \(\sqrt{x^2}\neq x\), \(\sqrt{\frac{1}{x}} \neq \frac{1}{\sqrt{x}}\) 이다.

요약하면,

기억해야 될마큼 중요한데 이유는 기본디폴트 설정으로 심파이는 참이 아니면 간략화를 수행하지 않는다.

특정 가정아래서 참인 항등식과 관련된 간략화를 심파이가 수행하려면, 심볼에 대한 가정을 할 필요가 있다. 나중에 가정시스템에 대한 전체적인 논의를 할 예정이지만, 지금 당장 알고 있을 필요가 있는 것은 다음과 같다.

• 기본디폴트 설정으로 심파이 기호는 복소수(\(\mathbb{C}\) 요소)를 가정한다. 즉, 모든 복소수에 대해 성립하지 않는 경우, 주어진 기호에 대한 표현식에 간략화가 적용되지 않는다.
• 가정을 symbols() 함수에 전달함으로써 기호에 다른 가정이 주어진다. 이번 절 나머지 부분에서 x와 y를 양수, a와 b를 실수로 가정한다. 이런 경우에 무슨 일이 일어날지 시연하는데 z, t, c를 임의 복소수 기호로

x, y = symbols('x y', positive=True)
a, b = symbols('a b', real=True)
z, t, c = symbols('z t c')

심파이에서 sqrt(x)는 x**Rational(1,2)를 축약한 것으로 둘은 정확하게 같은 객체다.

sqrt(x) == x**Rational(1,2)
True

### powsimp

powsimp() 함수는 위에 정의된 항등식 1,2 에 왼쪽에서 오른쪽으로 적용된다.

powsimp(x**a*x**b)

\[x^{a + b}\]

powsimp(x**a*y**a)

\[\left(x y\right)^{a}\]

powsimp() 함수는 적법하지 않는 경우 간략화를 거부하는 것에 주목한다.

powsimp(t**c*z**c)

\[t^{c} z^{c}\]

간략화를 적용하고자 하지만, 가정으로 인해 난잡하게 되는 것을 원치 않는 경우, force=True 플래그를 전달할 수도 있다. 이를 통해 간략화가 가정에 관계없이 진행되게 된다.

powsimp(t**c*z**c, force=True)

\[\left(t z\right)^{c}\]

일부 경우에, 특히 지수가 정수 혹은 유리수이며 항등식 2가 성립하는 경우, 자동으로 적용된다.

(z*t)**2

\[t^{2} z^{2}\]

sqrt(x*y)

\[\sqrt{x} \sqrt{y}\]

expand_power_exp / expand_power_base

expand_power_exp() 와 expand_power_base() 함수는 오른쪽에서 왼쪽으로 항등식 1,2에 각각 적용된다.

expand_power_exp(x**(a+b))

\[x^{a} x^{b}\]

expand_power_base((x*y)**a)

\[x^{a} y^{a}\]

powsimp() 와 마찬가지로, 항등식 2는 적법하지 않는 경우 적용되지 않는다.

expand_power_base((z*t)**c)

\[\left(t z\right)^{c}\]

powsimp() 함수와 마찬가지로 force=True 인자를 사용해서 가정을 조작할 필요없이 전개를 강제할 수 있다.

expand_power_base((z*t)**c, force=True)

\[t^{c} z^{c}\]

항등식 2와 마찬가지로, 항등식 1은 거듭제곱이 숫자면 자동으로 적용된다. 따라서 expand_power_exp() 함수로 별도 작업을 할 필요가 없다.

x**2*x**3

\[x^{5}\]

expand_power_exp(x**5)

\[x^{5}\]

powdenest

powdenest() 함수는 왼쪽에서 오른쪽으로 항등식 3에 적용된다.

powdenest((x**a)**b)

\[x^{a b}\]

powdenest((z**a)**b)

\[\left(z^{a}\right)^{b}\]

이전과 마찬가지로 force=True 인자를 넣어 수동으로 강제적용시킬 수 있다.

powdenest((z**a)**b, force=True)

\[z^{a b}\]

지수와 로그

파이썬과 프로그래밍 언어 대부분처럼, 심파이에서 log는 자연로그다. ln으로도 알려져있다. 심파이에서 자동으로 ln=log 별칭을 제공한다.
>>> ln(x)
log(x)

로그도 지수와 유사한 이슈가 있다. 로그와 관련된 주요 등식 두개는 다음과 같다.

1. \(log(xy) = log(x) + log(y)\)
2. \(log(x^n ) = n log(x)\)

임의 복소수 \(x\)와 \(y\)에 대해 어떤 항등식도 참이 아니다. 왜냐하면, 복소수 알고리즘에 대한 복소 평면에 분지절단(branch cut) 때문이다. 하지만, 등식이 성립하는 충분조건은 \(x\)와 \(y\)가 양수이며 \(n\)이 실수인 경우다.

x, y = symbols('x y', positive = True)
n = symbols('n', real=True)

등식 \(\log{\left (\frac{x}{y}\right )} = \log(x) - \log(y)\)은 등식 1, 2의 특수한 경우로 \(\log{\left (\frac{x}{y}\right )} = \log{\left (x\cdot\frac{1}{y}\right )} = \log(x) + \log{\left(y^{-1}\right )} = \log(x) - \log(y)\) 이 되고, \(x\) 와 \(y\) 가 양수이면 성립하지만, 일반적으로 성립되는 것은 아니다.

\(\log{\left( e^x \right)} = x\) 등식은 \(\log{\left ( e^x \right)} = x\log(e) = x\) 에서 나온다. 따라서, \(x\) 가 실수이면 성립된다. (임의 복소수 \(x\) 에 대해서는 성립되지 않는 것을 확인될 수 있다. 예를 들어, \(\log{\left (e^{x + 2\pi i}\right)} = \log{\left (e^x\right )} = x \neq x + 2\pi i\))

expand_log

왼쪽에서 등식 1,2 를 적용하려면, expand_log()를 사용한다. 늘 그렇지만, 등식은 적법하지 않는 경우 적용되지 않는다.

expand_log(log(x*y))

\[\log{\left (x \right )} + \log{\left (y \right )}\]

expand_log(log(x/y))

\[\log{\left (x \right )} - \log{\left (y \right )}\]

expand_log(log(x**2))

\[2 \log{\left (x \right )}\]

expand_log(log(x**n))

\[n \log{\left (x \right )}\]

expand_log(log(z*t))

\[\log{\left (t z \right )}\]

powsimp()과 powdenest() 함수와 마찬가지로, expand_log()도 force 선택옵션으로 가정을 무시하는데 사용한다.

expand_log(log(z**2))

\[\log{\left (z^{2} \right )}\]

expand_log(log(z**2), force=True)

\[2 \log{\left (z \right )}\]

logcombine

오른쪽에서 왼쪽으로 항등식 1, 2를 적용하려면, logcombine() 함수를 사용한다.

logcombine(log(x) + log(y))

\[\log{\left (x y \right )}\]

logcombine(n*log(x))

\[\log{\left (x^{n} \right )}\]

logcombine(n*log(z))

\[n \log{\left (z \right )}\]

logcombine() 함수에 force 선택옵션을 사용해서 가정을 무시하고 적용할 수도 있다.

logcombine(n*log(z), force=True)

\[\log{\left (z^{n} \right )}\]

특수 함수

심파이에는 수십가지 특수 함수가 구현되어 있는데, 조합론에 나온 함수부터 수리물리학까지 아우른다.

심파이에 포함된 특수 함수 목록과 연관된 문서는 Functions Module 웹페이지를 참조한다.

심파이에 구현된 몇가지 특수함수를 소개한다.

x, y, z를 정규, 복소수 기호로 정의하고 앞절에서 제시한 가정을 무시한다. k, m, n도 함께 정의한다.

x, y, z = symbols('x y z')
k, m, n = symbols('k m n')

차례곱(factorial) 함수는 factorial이다. factorial(n)은 \(n!= 1\cdot2\cdots(n - 1)\cdot n\)을 나타낸다. \(n!\)은 \(n\)개 확연히 구분되는 항목에 대한 순열을 나타낸다.

factorial(n)

\[n!\]

이항계수(binomial coefficient) 함수는 binomial이다. binomial(n, k)는 \(\binom{n}{k}\)로 표현되고, \(n\)개 확연히 구분되는 항복으로부터 \(k\) 개 항목을 선택하는 방법의 수를 나타낸다. \(nCk\)로도 작성하고 ’‘\(n\) choose \(k\)’’라고 발음한다.

binomial(n, k)

\[{\binom{n}{k}}\]

차례곱 함수는 감마함수(gamma function)과 밀접하게 관련되어 있다. gamma(z)는 \(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z - 1}e^{-t}\,dt\) 으로 표현되고 양의 정수 \(z\)에 대해 \((z-1)!\)과 같다.

gamma(z)

\[\Gamma{\left(z \right)}\]

일반화 초기하 함수(Generalized hypergeometric function)는 hyper다. hyper([a_1, ..., a_p], [b_1, ..., b_q], z)는 \({}_pF_q\left(\begin{matrix} a_1, \dots, a_p \\ b_1, \dots, b_q \end{matrix} \middle| z \right)\) 표현된다. 가장 일반적인 경우가 \({}_2F_1\) 으로 보통 초기하 함수(ordinary hypergeometric function)를 흔히 지칭한다.

hyper([1, 2], [3], z)

\[{{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 1, 2 \\ 3 \end{matrix}\middle| {z} \right)}\]

다시 고쳐쓰기

특수 함수를 다루는 일반적인 방식은 다른 것에 관해서 다시 작성하는 것이다. 특수 함수 뿐만 아니라, 심파이에 어떤 함수에도 해당된다.함수에 관해 표현식을 다시 작성하려면, expr.rewrite(function) 메쏘드를 사용한다. 예를 들어,

tan(x).rewrite(sin)

\[\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}}\]

factorial(x).rewrite(gamma)

\[\Gamma{\left(x + 1 \right)}\]

좀더 고급 다시 작성하는 방법에 대한 도움말은 Advanced Expression Manipulation을 참조한다.

expand_func

항등식에 관해서 특수 함수를 전개하려면, expand_func() 함수를 사용한다. 예를 들어,

expand_func(gamma(x + 3))

\[x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \Gamma{\left(x \right)}\]

hyperexpand

hyper를 좀더 표준 함수로 다시 작성하려면, hyperexpand()를 사용한다.

hyperexpand(hyper([1,1],[2],z))

\[- \frac{1}{z} \log{\left (- z + 1 \right )}\]

hyperexpand() 함수도 좀더 일반적인 Meijer G-함수에 동작한다.

expr = meijerg([[1],[1]], [[1],[]], -z)
expr

\[{G_{2, 1}^{1, 1}\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\1 & \end{matrix} \middle| {- z} \right)}\]

hyperexpand(expr)

\[e^{\frac{1}{z}}\]

combsimp

조합 표현식을 간략화는데, combsimp() 함수를 사용한다.

combsimp(factorial(n)/factorial(n - 3))

\[n \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)\]

combsimp(binomial(n+1, k+1)/binomial(n, k))

\[\frac{n + 1}{k + 1}\]

combsimp()함수는 gamma 함수를 갖는 표현식도 간략화한다.

combsimp(gamma(x)*gamma(1-x))

\[\frac{\pi}{\sin{\left (\pi x \right )}}\]

예제: 연분수

심파이를 사용해서 연분수(continued fraction)을 살펴보자. 연분수(continued fraction)는 다음 형태를 갖는 표현식이다.

$ a_0 + $

\(a_0, \ldots, a_n\) 은 정수고, \(a_1, \ldots, a_n\) 은 양수다. 연분수는 무한일 수도 있지만, 무한 객체를 컴퓨터로 표현하는 것이 더 어려워서, 여기서는 유한인 경우만 살펴본다.

상기와 같은 연분수는 \([a_0; a_1, \ldots, a_n]\) 리스트 형태로 표현된다. 간단한 함수를 작성해서 이러한 리스트를 연분수 형태로 변환하자. 리스트에서 연분수를 작성하는 가장 쉬운 방법은 반대방향으로 작업하는 것이다. 정의에 대한 명백한 대칭성에도 불구하고, 첫번째 요소, \(a_0\)는 나머지와 다르게 보통 처리된다.

def list_to_frac(l):
    expr = Integer(0)
    for i in reversed(l[1:]):
        expr += i
        expr = 1/expr
    return l[0] + expr
list_to_frac([x, y, z])

\[x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}\]

파이썬 정수를 인수로 전달할지라도, list_to_frac 함수에 integer(0)를 사용해서 결과는 항상 심파이 객체다.

list_to_frac([1,2,3,4])

\[\frac{43}{30}\]

모든 유한 연분수는 유리수지만 여기서 기호에 관심이 있어, 기호 연분수를 생성하자. 지금까지 사용한 symbols() 함수는 숫자 번호 매긴 기호를 생성하는 축약법이 있다. symbols('a0:5) 는 a0, a1, …, a5 기호를 생성한다.

syms = symbols('a0:5')
syms

\[\left ( a_{0}, \quad a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \quad a_{4}\right )\]

a0, a1, a2, a3, a4 = syms
frac = list_to_frac(syms)
frac

\[a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{a_{4}}}}}\]

상기 형태는 연분수를 이해하는데 도움이 된다. cancel() 함수를 사용해서 표준 유리함수 형태로 표현해 본다.

frac = cancel(frac)
frac

\[\frac{a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + a_{0} a_{1} a_{2} + a_{0} a_{1} a_{4} + a_{0} a_{3} a_{4} + a_{0} + a_{2} a_{3} a_{4} + a_{2} + a_{4}}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{4} + a_{3} a_{4} + 1}\]

frac이 소거된 형태로 주어졌다고 가정하자. 사실, 분수는 어떤 형태로도 주어질 수 있지만, cancel() 함수로 위와 같은 표준형으로 항상 표현할 수 있다. 연분수 형태로 다시 작성될 수 있다는 사실을 인지한다고 가정하자. 심파이로 어떻게 작업할 수 있을까? 연분수는 재귀적인 \(c + \frac{1}{f}\) 형태로, \(c\)는 정수가 되고, \(f\)는 (더 작은) 연분수가 된다. 표현식을 이런 형태로 작성할 수 있으면, 재귀적으로 \(c\) 각각을 뽑아내서 리스트에 추가할 수 있다. 그리고 나서, list_to_frac() 함수로 연분수를 얻을 수 있게 된다.

여기서 중요한 점은 표현식을 \(c\)에 관해서 부분 분수분해 작업을 통해서 \(c + \frac{1}{f}\) 형태로 전환할 수 있다는 것이다. \(f\)가 \(c\)를 포함하고 있지 않기 때문이다. 이것이 의미하는 바는 apart() 함수를 사용할 필요가 있다는 점이다. apart() 함수를 사용해서 해당 항을 뽑아내고 나서 표현식에서 빼기하고 \(f\) 부분을 얻는데 역수를 취한다.

l = []
frac = apart(frac, a0)
frac

\[a_{0} + \frac{a_{2} a_{3} a_{4} + a_{2} + a_{4}}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{4} + a_{3} a_{4} + 1}\]

l.append(a0)
frac = 1/(frac -a0)
frac

\[\frac{1}{a_{2} a_{3} a_{4} + a_{2} + a_{4}} \left(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{4} + a_{3} a_{4} + 1\right)\]

이제 이와 같은 과정을 반복한다.

frac = apart(frac, a1)
frac

\[a_{1} + \frac{a_{3} a_{4} + 1}{a_{2} a_{3} a_{4} + a_{2} + a_{4}}\]

l.append(a1)
frac = 1/(frac - a1)
frac = apart(frac, a2)
frac

\[a_{2} + \frac{a_{4}}{a_{3} a_{4} + 1}\]

l.append(a2)
frac = 1/(frac - a2)
frac = apart(frac, a3)
frac

\[a_{3} + \frac{1}{a_{4}}\]

l.append(a3)
frac = 1/(frac - a3)
frac = apart(frac, a4)
frac

\[a_{4}\]

l.append(a4)
list_to_frac(l)

\[a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{a_{4}}}}}\]

물론 이번 연습문제는 가치가 없다. 왜냐하면, 이미 frac이 list_to_frac([a0, a1, a2, a3, a4])이라는 것을 알고 있다. 그래서 다음 연습문제를 시도해 보자. 기호 리스트를 받아 임의로 순서를 바꾸고, 소거된 연분수 형태를 생성하자. 최초 리스트를 복원할 수 있는지도 살펴보자. 예를 들어,

import random
l = list(symbols('a0:5'))
random.shuffle(l)
orig_frac = cancel(list_to_frac(l))
del l

frac에서 l을 복원해 본다. 훔쳐보는 유혹을 없애고자 마지막에 l을 삭제했다. (여러분이 생성한 리스트와 cancel(list_to_frac(l)) 함수를 호출해서 마지막에 생성된 정답을 검사할 수 있고, orig_frac 리스트와 비교도 가능하다)

각 단계마다 apart() 함수에 어떤 기호를 전달할지 해결하는 방법을 생각해 낼 수 있는지 알아보자. (힌트: 소거될 때 \(a_0 + \frac{1}{a_1 + \cdots}\) 공식에 \(a_0\)에 어떤 일이 일어나는지 생각해보라)