데이터 과학 – 기초 통계
확률 법칙(law of probability)
1. 확률의 덧셈법칙
두 사건 중 적어도 하나만 발생할 확률을 “또는(or)” 연산으로 표현할 수 있는데, 두 사건이 독립을 가정(\(Pr(\text{A and B}) = Pr(A) \times Pr(B)\))하면 다음과 같이 표현할 수 있다. 이를 확률의 덧셈법칙(addition law of probability)이라고 부른다.
\(\begin{aligned} Pr(\text{A or B}) &= Pr(A) + Pr(B) - Pr(\text{A and B})\\ &= Pr(A) + Pr(B) - Pr(A) \times Pr(B) \end{aligned}\)
1.1. 넥슨 두 타자
타자의 정규타석은 소속팀의 경기수 \(\times\) 3.1로 정의된다. 보통 한 경기에서 타자가 4 혹은 5번 타석에 들어서고 슬럼프 등으로 2군에 내려가는 것을 감안하여 붙박이 주전급 선수를 가늠하는 기준이다. 이제 넥슨의 수위 타자 두명을 놓고 두 선수가 매번 타석에서 안타를 치거나 두 선수 중 한 선수가 안타를 치는 확률을 확률의 덧셈법칙을 통해 확인해 보자. 규정타석을 446 타석으로 놓고 안타를 1, 범타를 0으로 정해놓고 타율은 최근 타율1 데이터를 참조한다.
# 1. 넥센 두 타자 ------------
서건창 <- rbinom(446, 1, 0.344)
이정후 <- rbinom(446, 1, 0.333)
# 두선수가 모두 안타를 칠 확률
mean(서건창&이정후)[1] 0.1121076
mean(서건창|이정후)[1] 0.5560538
mean(서건창==1) + mean(이정후==1) - mean(서건창&이정후)[1] 0.5560538
두 선수가 동시에 안타를 칠 확률은 0.11이 되고, 두 선수 중 적어도 한 선구가 안타를 칠 확률은 0.56이 된다.
1.2. 200 안타를 향해서
충분한 타석(540)이 주어졌다고 가정하고 200안타 이상을 때릴 확률은 얼마나 될까? \(\frac{200}{540}\) = 0.3703704 단순 계산해도 3할 7푼이 넘는 고타율이다.
서건창, 이정후 선수를 100,000번 KBO 시즌을 돌리는데 540번 타석에 세워 타율은 현재 타율이라고 가정한다. 이런 가정을 두고 두 선수 중 적어도 한 선수가 200 안타를 칠 확률은 얼마나 될까? 이를 풀기 위해서 한번은 난수를 발생하여 모의실험으로 계산하고, 다른 한번은 누적이항분포 확률을 사용해서 계산한다.
# 2. 200 안타 ------------
서건창 <- rbinom(100000, 540, 0.344)
이정후 <- rbinom(100000, 540, 0.333)
# 두선수 중 적어도 한 선수가 200 안타를 칠 확률
mean(서건창 > 200 | 이정후 > 200)[1] 0.11937
서건창_확률 <- 1 - pbinom(200, 540, 0.344)
이정후_확률 <- 1 - pbinom(200, 540, 0.333)
서건창_확률 + 이정후_확률 - 서건창_확률*이정후_확률[1] 0.1189903
2. 확률변수 합
두 확률변수를 곱하거나 더하는 경우를 생각할 수 있다. 이항분포에서 나온 두 변수를 더하여 만들어진 새로운 변수는 어떤 특성을 갖게 되는지 살펴보자
\[Z \sim X + Y\] 여기서, \(X \sim \text{이항분포}(n, p)\)를 따르고, \(Y \sim \text{이항분포}(m, p)\)를 따를 때 두 확률변수를 합한 \(Z\)를 살펴보자. 2
\[X + Y \sim \text{이항분포}(n+m, p)\]
2.1. 두 변수 합에 대한 기대값과 분산
독립인 두 변수에 대한 기대값과 분산은 다음과 같다.
- \(E[X+Y] = E[X] + E[Y]\)
- \(Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y]\)
2.2. R 코드을 통한 시각화 및 수치 검정
\(X \sim \text{이항분포}(n, p) = \text{이항분포}(10, 0.5)\)로 두고, \(Y \sim \text{이항분포}(m, p) = \text{이항분포}(20, 0.5)\)을 놓게 되면, 이론적으로 \(X+Y \sim \text{이항분포}(n+m, p) = \text{이항분포}(10+20, 0.5)\)이 되고, rbinom함수를 통해 난수를 만들고, 두 변수를 합하여 시각화한다.
binom_df <- data.frame(x = rbinom(10000, 10, 0.5),
y = rbinom(10000, 20, 0.5))
binom_df %>% mutate(z = x + y) %>%
gather(key=binom_dist, value=cnt, x, y, z) %>%
ggplot(aes(x=cnt, y=binom_dist, color=binom_dist)) +
geom_bar(stat="identity") +
facet_wrap(~binom_dist, nrow=3) +
theme_bw(base_family = "NanumGothic") +
theme(legend.position = "none") +
labs(x="성공횟수", y="빈도수", title="두 확률변수의 합")
이론값과 난수를 생성하여 두 변수를 합한 결과를 비교한다.
mean(binom_df$x)[1] 4.9798
mean(binom_df$y)[1] 9.9573
binom_df %>% mutate(z = x + y) %>%
summarise(mean_z = mean(z)) mean_z
1 14.9371