기계학습

독일 탱크 문제

저자

소속

이광춘

한국R사용자회

1 독일 탱크 생산

제2차 세계대전에서 연합국은 독일의 탱크 생산대수에 큰 관심이 있었다. 정확히 생산된 탱크 생산대수를 파악하게 되면 이후 전쟁에서 이길 수 있는 후속 전략을 세워 전쟁을 세우는데 매우 중요한 정보가 되기 때문이다.

Wikipeida German tank Problem, https://en.wikipedia.org/wiki/German_tank_problem

2 문제 정의

탱크에 생산 일련번호가 1 (1번 생산 탱크) 부터 m (가장 최근 생산 m번째 탱크) 일련번호를 갖고 생산된다고 가정한다. 파괴되거나 노획된 독일 탱크를 k 대 관측했고 이중 가장 큰 일련번호를 갖는 탱크가 m 일련번호를 갖는다고 표본을 획득했다. 이와 같은 상황에서 최대값 N을 추정하는 문제로 둘 수 있다.

\[\hat{N} = \hat{N}(m, k)\]

2.1 빈도주의 추정

빈도주의 추정은 다음 수식을 사용해서 추정할 수 있다.

\[N \approx m + \frac{m}{k} - 1\]

2.2 베이지안 추정

베이지안 추정은 다음 수식을 사용해서 추정할 수 있다.

\[\Pr(N=n) \approx \begin{cases} 0 &\text{if } n < m \\ (k-1)m^{k-1}n^{-k} &\text{if } n \ge m, \end{cases}\]

베이지안 평균은 다음과 같이 추정할 수 있다.

\[N_{av} \approx (m - 1)\frac{k - 1}{k - 2}\]

3 독일 탱크 데이터

3.1 빈도주의자 추정

다음과 같이 4대의 독일 탱크를 전투에서 파괴했고 이를 통해서 얻은 탱크 생산 일련번호는 다음과 같다. 즉, 최대 일련번호는 60, 총 4대를 관측했다. 이를 바탕으로 독일 탱크 생산대수를 추정한다.

obs_tanks <- c(19, 40, 42, 60)

estimate_tanks <- function(tanks) {
     max(tanks) + max(tanks) / length(tanks) - 1
}

estimate_tanks(obs_tanks)

[1] 74

3.2 베이지안 추정

동일한 데이터를 바탕으로 베이지안 추정 작업을 수행한다.

bayesian_tanks <- function(tanks) {
     k <- length(tanks)
     m <- max(tanks)
     
     max_tank <- (m - 1) * (k-1) / (k-2)
     
     return(ceiling(max_tank))
}

bayesian_tanks(obs_tanks)

[1] 89

4 탱크 생산 검증

미국과 영국이 주축이 된 정보부에서 추정한 월별 독일 탱크 생산대수는 실제 독일 생산대수와 큰차이가 나지만, 통계추정값은 1942년 8월 거의 정확하게 추정한 것을 확인할 수 있다.

년월	통계추정	정보부추정	독일생산량
1940년 6월	169	1,000	122
1941년 6월	244	1,550	271
1942년 8월	327	1,550	342