데이터 과학을 위한 R 알고리즘
상트페테르부르크의 역설 (St. Petersburg paradox)
2017-10-23
1. 세인트 피터스버그의 역설 1
상트페테르부르크의 역설(St. Petersburg paradox) 또는 세인트 피터스버그의 역설은 경제학에서 사람들의 의사결정에 기댓값이 가지는 의미의 차이에서 발생하는 역설을 말한다. 니콜라우스 베르누이 1세(Nicolaus 1 Bernoulli)에 의해 제기되었으며, 흔히 사람들은 기댓값을 의사결정의 지표로 삼는다고 생각하지만 그러한 인식에 문제가 있음을 제시하였다.
- 상트페테르부르크의 어떤 도박장이 있다.
- 도박 참가비는 10,000 루블: 10,000 루블 대략 196,500원 (19.66d원/1루블)
- 공정한 동전(\(p=\frac{1}{2}\))을 던져 뒷면이 나오면 계속던짐.
- \(n\) 번째 처음 동전 앞면이 나여면 게임이 종료되고 \(2^{n-1}\) 루블을 상금으로 지급받음.
러시아 상트페테르부르크 도박장에서 제시하는 게임에 참가할 것인가?
2. 수학적 기대값 2
수학적 기대값을 계산하면 다음과 같다.
\[\begin{align} E &= \frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{4}\cdot 4 + \frac{1}{8}\cdot 8 + \frac{1}{16}\cdot 16 + \cdots \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \\ &=\infty \,. \end{align}\]
공전한 동전을 가정하면, 동전 앞면이 나올 확률 (\(p=\frac{1}{2}\))이기 때문에 뒷면이 나올 확률은 \(1-p=\frac{1}{2}\)이 된다. 이는 \(P(\text{앞면이 한번 나올 때까지 n-1번 뒷면이 나옴}\) 확률을 계산하는데 결국,
\[P(\text{n번 동전 던지기}) = P(\text{n-1번 뒷면} \times \text{앞면 한번})) = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \times \frac{1}{2}\]
따라서, 모수로 확률 (\(p=\frac{1}{2}\))를 갖는 기하분포가 된다. 즉, 동전 앞면이 나와 도박에서 승리하는데 평균적으로 2번 필요하다. 기하분포 평균과 분산은 다음과 같다.
\[\operatorname{E}(X) = \frac 1 p, \qquad\operatorname{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\]
3. 컴퓨터 모의실험 3
3.1. 한번 게임
동전 던져 나온 상황을 모사한다. 즉, sample(c("Head", "Tail"), size=1, prob = c(1/2, 1/2)) 명령어를 통해 동전을 앞면, 뒷면으로 정의하고 size=1을 통해 한번 동전을 던지고, 공정한 동전이라 앞면, 뒷면 확률을 \(\frac{1}{2}\)로 표현한다.
그리고 나서, 동전 앞면이 나오면 보상으로 동전던지기 횟수만큼 \(2^{\text{던지기 횟수}}\) 만큼 보상을 주고 동전던지기 시합을 마무리한다.
이를 10회 반복하는 명령어는 for(i in 1:10) play_game()와 같이 작성한다.
# library(tidyverse)
# library(ggthemes)
# library(extrafont)
# loadfonts()
play_game <- function() {
reward <- 0
turn <- 1
while(TRUE) {
coin_tossed <- sample(c("Head", "Tail"), size=1, prob = c(1/2, 1/2))
if(coin_tossed == "Head") {
reward <- 2^(turn)
# cat("동전 뒷면 횟수:", turn-1, "보상:", reward, "\n")
break
}
turn <- turn + 1
}
return(reward)
}
for(i in 1:10) play_game()3.2. 모의실험 많이 하기
동전 던지기 시합을 기본 1000회 실시하는 함수를 작성한다. 동전 던지기 결과를 저장할 수 있도록 game_results를 생성하고, 연속평균 결과도 저장할 수 있도록 rolling_average 저장소도 정의한다.
play_iterations 횟수만큼 동전 던지기 시합을 반복하고, 이전 동전던지기 결과를 평균내어 저장한다.
그리고 나서, 이를 데이터프레임으로 생성시키고 시각화한다.
run_simulation <- function(play_iterations = 1000) {
game_results <- numeric(play_iterations)
rolling_average <- numeric(play_iterations)
for(i in 1:play_iterations) {
game_results[i] <- play_game()
rolling_average[i] <- mean(game_results[1:i])
}
data.frame(game_iter = 1:play_iterations, rolling_avg = rolling_average) %>%
ggplot(aes(x=game_iter, y=rolling_avg)) +
geom_line() +
theme_bw(base_family="NanumGothic") +
labs(x="게임반복횟수", y="연속평균", title="동전던지기 모의실험", subtitle="상트페테르부르크의 역설 (St. Petersburg paradox)") +
scale_x_continuous(labels = scales::comma)
}
run_simulation(10000)