1. 최초 성공의 의미

최초 성공의 의미를 찾는 것은 뮤오리진 같은 MMORPG 게임에서 아이템 강화에 성공하는 작은 기쁨부터, 공무원시험에 합격하는 것까지 다양한 사례를 현실에서 찾아볼 수 있다.

강화성공 사례

2. 기하분포 수학적 표현

기하분포를 수학적으로 표현하는 방법은 두가지가 있다. 1

R에서는 rgeom 함수가 기하분포에서 난수를 발생시키는 함수인데 \(k\)번 실패를 기준으로 성공을 수식으로 표현한다.

2.1. rgeom 난수 발생

rgeom 함수를 통해 성공확률 0.7을 갖는 기하분포를 따르는 난수를 10,000개 생성한다. summary 함수를 통해 평균값을 보면 평균적으로 0.4회 실패를 해야 성공할 수 있다고 결과가 나온다. 따라서, \(\frac{1-p}{p} = \frac{1-0.7}{0.7} = 0.4285714\) 가 나온다. 다시 말해서 적어도 1회 성공하려면 시도 횟수에 방점을 둔 공식에 따라 \(\frac{1}{p} = \frac{1}{0.7} = 1.4285714\) 이 된다.

rgeom_simdata <- rgeom(10000, prob=0.7)

summary(rgeom_simdata)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.0000  0.0000  0.0000  0.4256  1.0000  9.0000

2.2. rgeom 난수의 적합도 검정

rgeom 함수에서 나온 난수가 정말 기하분포를 따르는지, 만약 기하분포를 따른다면 모수는 얼마인지 추정해 보자.

descdist(rgeom_simdata, discrete = TRUE)

summary statistics
------
min:  0   max:  9 
median:  0 
mean:  0.4256 
estimated sd:  0.7830236 
estimated skewness:  2.435572 
estimated kurtosis:  11.29091 

fitdist(rgeom_simdata, "geom")
Fitting of the distribution ' geom ' by maximum likelihood 
Parameters:
     estimate  Std. Error
prob 0.701459 0.003832663

3. 아이템 강화 모사

아이템 강화를 모사해 보자. 즉 아이템 성공확률이 \(p=0.7\) 인 경우, 1회 시도인 경우와 100회 시도인 경우를 모사해보자.

# 1. 아이템 강화 --------------
## 1.1. 1회 시도 모사
sample(c("성공", "실패"), size=1, prob=c(0.70, 1-0.70))
[1] "실패"

## 1.2. 100회 시도 모사
for(i in 1:100) cat(i, ":", sample(c("성공", "실패"), size=1, prob=c(0.70, 1-0.70)), "")
1 : 실패 2 : 성공 3 : 성공 4 : 실패 5 : 성공 6 : 실패 7 : 성공 8 : 실패 9 : 성공 10 : 실패 11 : 성공 12 : 성공 13 : 실패 14 : 성공 15 : 성공 16 : 성공 17 : 성공 18 : 성공 19 : 실패 20 : 성공 21 : 성공 22 : 성공 23 : 성공 24 : 성공 25 : 실패 26 : 성공 27 : 성공 28 : 성공 29 : 성공 30 : 성공 31 : 실패 32 : 성공 33 : 실패 34 : 성공 35 : 성공 36 : 실패 37 : 성공 38 : 실패 39 : 실패 40 : 성공 41 : 실패 42 : 성공 43 : 성공 44 : 성공 45 : 실패 46 : 실패 47 : 성공 48 : 실패 49 : 성공 50 : 성공 51 : 실패 52 : 성공 53 : 성공 54 : 실패 55 : 성공 56 : 성공 57 : 성공 58 : 성공 59 : 실패 60 : 성공 61 : 성공 62 : 성공 63 : 성공 64 : 성공 65 : 성공 66 : 성공 67 : 성공 68 : 성공 69 : 성공 70 : 성공 71 : 성공 72 : 성공 73 : 성공 74 : 성공 75 : 성공 76 : 성공 77 : 실패 78 : 실패 79 : 성공 80 : 성공 81 : 성공 82 : 실패 83 : 실패 84 : 실패 85 : 성공 86 : 실패 87 : 성공 88 : 성공 89 : 성공 90 : 성공 91 : 성공 92 : 성공 93 : 실패 94 : 성공 95 : 실패 96 : 실패 97 : 성공 98 : 실패 99 : 성공 100 : 성공

3.1. 성공전 실패횟수 모사

성공전 실패횟수를 모사하는 프로그램을 작성해보자.

  1. 1회 모사 함수작성
  2. 작성된 1회 모사 함수를 \(n\) 회 반복
  3. 성공전 실패횟수를 분석

3.1.1. 성공전 실패횟수 1회 모사

성공전 실패횟수를 1회 모사하는 함수를 작성한다. sample(c("성공", "실패"), size=1, prob=c(0.70, 1-0.70)) == "성공" 조건식을 통해 성공이 1회 관측되면 무한 루프를 종료하고 빠져나오고, 만약 조건식이 계속 실패로 나오면 반복적으로 실행한다.

## 1.3. 성공전 실패횟수를 모사 - 1회 모사 함수작성 후 n 회 반복

reinforce_item <- function(prob=0.7) {
    turn <- 0
    while(TRUE) {
        if(sample(c("성공", "실패"), size=1, prob=c(prob, 1-prob)) == "성공") {
            break
        } else {
            turn <- turn + 1
        }
        
    }
    return(turn)
}

3.1.2. n번 반복

reinforce_simulation 함수를 작성해서 n번 반복을 수행해도 되지만, replicate 내장함수를 사용하면 코드가 깔끔해진다.

# reinforce_simulation <- function(trial = 100) {
#     
#     reinforcment_result <- numeric(trial)
#     
#     for(i in 1:trial) {
#         reinforcment_result[i] <- reinforce_item()
#     }
#     
#     return(reinforcment_result)
# }

replicate(100, reinforce_item())
  [1] 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 2 1
 [36] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 4 0 0
 [71] 0 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1

3.1.3. 모의실험 결과 검증

기 작성한 n번 반복 함수를 활용해도 돼고, replicate 함수를 활용해서 모의실험 결과를 검증해 본다. 당연하지만, 음이항분포의 특수한 사례가 기하분포가 되고, 기하분포의 모수는 0.7로 제대로 생성된 것이 확인된다.

## 1.4. 모의실험 결과 검증

# reinforce_item_result <- reinforce_simulation(1000)
reinforce_item_result <- replicate(100000, reinforce_item(0.7))

fitdistrplus::descdist(reinforce_item_result, discrete = TRUE)

summary statistics
------
min:  0   max:  10 
median:  0 
mean:  0.42839 
estimated sd:  0.7789981 
estimated skewness:  2.345554 
estimated kurtosis:  10.38737 

fitdistrplus::fitdist(reinforce_item_result, "geom")
Fitting of the distribution ' geom ' by maximum likelihood 
Parameters:
      estimate Std. Error
prob 0.7000889  0.0012124

mean(reinforce_item_result)
[1] 0.42839

마지막으로 평균적으로 성공하기까지 0.42839회 실패를 해야되서, 따라서 최초 성공횟수는 1.42839 이 되어서 이론치 \(\frac{1}{0.7}= 1.4285714\)에 근사한다.

4. 3할 타자가 삼진 아웃 전에 안타를 칠 확률

타율이 3할(\(p=0.3\))이 타자가 있다. 볼은 무시하고 스타라이크 아웃 전에 안타를 칠 확률은 얼마나 될까? 전형적인 기하분포 문제로 성공은 안타, 실패는 스크라이크로 정의한다. 그러면 스트라이크 아웃 전에 안타를 치려면 스타라이크 0 인 상태에서 안타, 스타라이크 1 인 상태에서 안타, 스타라이크 2 인 상황에서 안타를 쳐야한다. 따라서, 확률은 다음과 같다.

\[Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) = (0.7)^0 \times 0.3 + (0.7)^1 \times 0.3 + (0.7)^2 \times 0.3 = 0.657\]

pgeom(2, prob=0.3)
[1] 0.657

  1. Geometric distribution↩